برنهارد ریمان: مردی که هندسه جهان را تغییر داد

در فضای پرتنش قرن نوزدهم آلمان، در خانهٔ یکی از سربازان ناپلئون، پسری متولد شد که قرار بود هندسهٔ جهان را برای همیشه دگرگون کند: گئورگ فریدریش برنهارد ریمان. او فرزند دوم از شش فرزند یک کشیش روستایی فقیر بود و چند سال بعد نیز مادرش را از دست داد. اروپا درگیر بحران، اختلاف طبقاتی و فقر گسترده بود و ریمانِ کمرو و نحیف، برای جلب رضایت پدر و کمک به معیشت خانواده، تصمیم گرفت الهیات بخواند و هرچه زودتر کشیش شود.
او پس از تحصیلات ابتدایی وارد رشتهٔ الهیات دانشگاه گوتینگن شد، اما با اجازهٔ پدر در کلاس‌های ریاضیات دانشکدهٔ فلسفه نیز شرکت می‌کرد. به نظر می‌رسد زندگی‌اش دقیقاً از همین‌جا مسیر تازه‌ای یافت. حضور در کلاس‌های کارل فریدریش گاوس، یکی از بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان تاریخ، علاقهٔ او به ریاضیات را چنان شعله‌ور کرد که سرانجام راهی دانشگاه برلین شد و نزد استادانی چون یاکوب اشتاینر، کارل گوستاو یاکوب یاکوبی، یوهان پتر گوستاف دیریکله و فردیناند گوت‌هولد آیزنشتاین آموزش دید. سه سال بعد، ریمان به گوتینگن بازگشت و از رسالهٔ دکترای خود دفاع کرد.
نقطهٔ اوج زندگی علمی او در سال ۱۸۵۴ رقم خورد؛ زمانی که در سخنرانی معروف خود در دانشگاه گوتینگن، ایدهٔ ابعاد بالاتر و بنیان‌های هندسهٔ نااقلیدسی را مطرح کرد؛ با دانه همراه باشید تا درباره ایده‌ای که نه‌تنها ریاضیات، بلکه نگرش بشر به فضا، طبیعت و واقعیت را دگرگون ساخت را بیشتر بشناسیم.

هندسه اقلیدسی؛ جهانِ تخت یونانیان

تا آن زمان، هندسهٔ اقلیدسی ستون اصلی هندسهٔ کلاسیک به شمار می‌رفت. این هندسه بر پایهٔ اصولی استوار بود که اقلیدس، ریاضی‌دان یونانی، حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد در کتاب مشهور «اُصول» گردآوری کرده بود. هندسهٔ اقلیدسی فضای دوبعدی (صفحه) و سه‌بعدی (فضای متعارف) را توصیف می‌کرد و هنوز هم مبنای آموزش هندسه در مدارس است.
قضیهٔ فیثاغورس، تشابه مثلث‌ها، ویژگی‌های دایره، زوایای مرکزی و فرمول‌های مساحت و حجم اشکالی چون کره و استوانه، همگی از دل همین دستگاه فکری بیرون آمده‌اند. برای قرن‌ها، این هندسه تنها زبان شناخته‌شدهٔ توصیف فضا بود و به‌عنوان الگویی دقیق از جهان فیزیکی تلقی می‌شد.
اما همان‌گونه که تحولات سیاسی و اجتماعی اروپا را دگرگون می‌کرد، ریاضی‌دانان نیز کم‌کم دریافتند که کتاب «اُصول» – که تا مرز متنی مقدس پیش رفته بود – کامل نیست. هندسهٔ اقلیدسی تنها در فضای تخت کارآمد بود و با ورود به سطوح خمیده دچار ناتوانی می‌شد. طبیعت، با کوه‌ها، امواج، ابرها، گرداب‌ها و حتی دایره‌ها و مثلث‌های ناتمامش، به‌ندرت با اشکال ایده‌آل یونانی هم‌خوانی داشت.
زمان انقلاب فرارسیده بود؛ اما چه کسی می‌توانست این بنای دوهزارساله را از نو تعریف کند؟

هندسه نا اقلیدسی؛ جهانِ خمیدهٔ ریمان

شاید کمتر کسی تصور می‌کرد که رهبر این دگرگونی، همان جوان کم‌حرف و بیمار باشد که چشمانش از مطالعه‌های طولانی فرسوده شده بود. ریمان که حتی در اوج شهرت نیز از فقر و اضطراب رهایی نیافت، در سکوت ذهن خود جهانی چندبعدی و خمیده می‌ساخت.
آنچه جایگزین هندسهٔ یونانی شد، انعطاف‌پذیری بود. ریمان نشان داد که فضا لزوماً تخت نیست؛ می‌تواند دارای انحنای مثبت باشد، مانند سطح یک کره، یا انحنای منفی، مانند سطح یک زین اسب. در فضای با انحنای مثبت، مجموع زوایای یک مثلث بیش از ۱۸۰ درجه است و خطوط موازی سرانجام به هم می‌رسند. در فضای با انحنای منفی، این مجموع کمتر از ۱۸۰ درجه است و از یک نقطه می‌توان بی‌نهایت خط موازی رسم کرد.
ریمان برای توضیح این ایده، تمثیل موجوداتی دوبعدی را به کار برد که روی صفحه‌ای کاغذی و مچاله‌شده زندگی می‌کنند. از دید آن‌ها، جهان کاملاً تخت به نظر می‌رسد، زیرا بدنشان با سطح یکی است. اما اگر بخواهند «در خط راست» حرکت کنند، احساس نیرویی نامرئی مسیرشان را منحرف می‌کند؛ گویی چیزی آن‌ها را به چپ و راست می‌کشد. این نیرو در واقع چیزی جز انحنای فضا نیست.
بدین‌ترتیب، ریمان با رد ایده‌ی «کنش از راه دور»، ضربه‌ای اساسی به فیزیک نیوتنی وارد کرد. از دید او، نیرو وجودی مستقل ندارد؛ بلکه نتیجهٔ هندسهٔ فضاست. او حتی جهان سه‌بعدی ما را پیچیده در بعد چهارمی نامرئی تصور کرد و نتیجه گرفت که گرانش، الکتریسیته و مغناطیس همگی جلوه‌هایی از همین درهم‌پیچیدگی هندسی‌اند.

میراث ریمان؛ زبانی برای جهان امروز

امروزه میراث ریمان تنها در نظریهٔ نسبیت عام اینشتین خلاصه نمی‌شود. هندسه‌ی ریمانی زبان مشترک فیزیک نظری، نظریهٔ ریسمان، گرانش کوانتومی، پردازش تصویر، بینایی ماشین و حتی یادگیری ماشین است.
هر بار که یک سامانهٔ نقشه‌برداری کوتاه‌ترین مسیر روی سطح زمین را محاسبه می‌کند، در واقع بر پایهٔ همین هندسهٔ نا اقلیدسی کار می‌کند.
ریمان جهان را ساده‌تر نکرد؛ آن را عمیق‌تر فهمید. او به ما آموخت که واقعیت، الزاماً از خطوط راست و زوایای کامل ساخته نشده است. گاهی آنچه ما «نیرو» می‌نامیم، تنها پژواکی از خمیدگی‌های پنهان فضاست؛ و گاهی برای درک جهان، باید جرئت کنیم از سطح تخت بدیهیات عبور کنیم.