از عدد π تا سیاهچالهها
فرمولهای صدساله رامانوجان برای عدد π، امروز به کلیدی برای فهم پدیدههایی چون آشفتگی و سیاهچالهها تبدیل شدهاند.
فرمولهای ظریف و هوشمندانهای که سرینیواسا رامانوجان بیش از یک قرن پیش برای محاسبه عدد(π) ارائه کرد، امروز به شکلی غیرمنتظره در قلب فیزیک مدرن دوباره ظاهر شدهاند. پژوهشگران مؤسسه علوم هند (IISc) دریافتهاند که همان ساختارهای ریاضی نهفته در این فرمولها، پدیدههایی واقعی مانند آشفتگی سیالات، نفوذپذیری مواد و حتی ویژگیهایی از سیاهچالهها را توصیف میکنند. آنچه زمانی صرفاً ریاضیات محض به نظر میرسید، اکنون عمیقاً با قوانین فیزیکی حاکم بر جهان گرهخورده است.
بیشتر مردم نخستینبار عدد گنگ (π) پی (که معمولاً ۳٫۱۴ در نظر گرفته میشود و دارای بینهایت رقم اعشاری بدون الگوی تکرار است.) را در کلاسهای درس و در ارتباط با دایرهها میشناسند. در دهههای اخیر، پیشرفتهای رایانشی این عدد آشنا را فراتر از کلاس درس برده و ابررایانهها توانستهاند (π) را تا تریلیونها رقم اعشاری محاسبه کنند.
به گزارش پایگاه علمی خبری دانه، اکنون پژوهشگران به کشفی غیرمنتظره دست یافتهاند. فیزیکدانان مرکز فیزیک انرژیهای بالا (CHEP) در (IISc) گزارش میدهند که فرمولهایی که یک قرن پیش برای محاسبه (π) تدوین شدهاند، ارتباط نزدیکی با برخی از بنیادیترین ایدههای فیزیک امروز دارند. این پیوندها در توصیفهای نظری پدیدههایی مانند نفوذپذیری، آشفتگی سیالات و حتی برخی ویژگیهای سیاهچالهها دیده میشوند.
فرمولهای شگفتانگیز (π) رامانوجان
در سال ۱۹۱۴، اندکی پیش از ترک مدرسه برای رفتن به کمبریج، ریاضیدان برجسته هندی، سرینیواسا رامانوجان، مقالهای منتشر کرد که در آن ۱۷ فرمول متفاوت برای محاسبه عدد π ارائه شده بود. این فرمولها به طرز چشمگیری کارآمد بودند و امکان محاسبه π را بسیار سریعتر از روشهای رایج آن زمان فراهم میکردند. باوجود تعداد اندک اجزای ریاضی، این روابط دقت بسیار بالایی داشتند و رقمهای صحیح فراوانی از (π) را تولید میکردند.تأثیر این فرمولها تا امروز ادامه دارد. روشهای رامانوجان به پایهای برای رویکردهای نوین ریاضی و محاسباتی در محاسبه (π) تبدیل شدهاند؛ از جمله الگوریتمهایی که در پیشرفتهترین ماشینهای امروزی استفاده میشوند. آنیندا سینها، استاد (CHEP) و نویسنده ارشد این پژوهش میگوید: «دانشمندان توانستهاند (π) را تا ۲۰۰ تریلیون رقم اعشاری با استفاده از الگوریتمی به نام چودنوفسکی محاسبه کنند. این الگوریتمها در واقع بر پایه کارهای رامانوجان بنا شدهاند.»
پرسشی عمیقتر پشت ریاضیات
برای سینها و فایزان بهات، نویسنده نخست مقاله و دانشآموخته دکتری (IISc)، پرسش فراتر از کارایی محاسباتی بود. آنها به دنبال پاسخ این سؤال بودند که چرا اساساً چنین فرمولهای قدرتمندی وجود دارند. بهجای آنکه این روابط را صرفاً نتایجی انتزاعی بدانند، تلاش کردند ریشهای فیزیکی برای آنها بیابند.
سینها میگوید: «میخواستیم ببینیم آیا نقطه آغاز این فرمولها به طور طبیعی در دل یک نظریه فیزیکی قرار میگیرد یا نه. به بیان دیگر، آیا جهانی فیزیکی وجود دارد که ریاضیات رامانوجان به طور خودبهخود در آن ظاهر شود؟»
جایی که (π) با فیزیک و بیمقیاسی تلاقی میکند
این جستوجو آنها را به خانوادهای گسترده از نظریهها به نام نظریههای میدان همدیس رساند؛ بهویژه نوعی
خاص به نام نظریههای میدان همدیس لگاریتمی. این نظریهها سامانههایی را توصیف میکنند که دارای تقارن بیمقیاسی هستند؛ یعنی صرفنظر از میزان بزرگنمایی، ساختارشان یکسان به نظر میرسد، مشابه الگوهای فراکتالی، (ساختارهای هندسی پیچیده و خودمتشابهی هستند که در آنها اجزای کوچک شونده، شکل کلی را تکرار میکنند و اغلب در طبیعت (مثل شکل کوهها، ابرها و ریشه درختان) یافت میشوند.)
نمونهای آشنا از این رفتار فیزیکی در نقطه بحرانی آبدیده میشود؛ جایی که در دما و فشار مشخص، آب مایع و بخار از هم قابلتشخیص نیستند. در این حالت، آب تقارن بیمقیاسی از خود نشان میدهد و رفتارش با نظریه میدان همدیس قابلتوصیف است. رفتارهای بحرانی مشابهی در نفوذپذیری مواد، آغاز آشفتگی در سیالات و برخی مدلهای نظری سیاهچالهها نیز مشاهده میشود؛ پدیدههایی که در قلمرو نظریههای میدان همدیس لگاریتمی قرار میگیرند.
استفاده از ساختار رامانوجان برای حل مسائل فیزیک
پژوهشگران دریافتند که چارچوب ریاضی مرکزی در فرمولهای (π) رامانوجان، در معادلات زیربنایی این نظریههای میدان همدیس لگاریتمی نیز حضور دارد. با بهرهگیری از این ساختار مشترک، آنها توانستند کمیتهای کلیدی این نظریهها را با کارایی بیشتری محاسبه کنند؛ محاسباتی که میتواند در نهایت به درک بهتر فرایندهای پیچیدهای؛ مانند آشفتگی و نفوذپذیری منجر شود.
این رویکرد شباهت زیادی به روش خود رامانوجان دارد: آغاز از یک بیان ریاضی فشرده و رسیدن سریع به نتایجی دقیق. فایزان بهات میگوید: «در هر ریاضیات زیبایی، تقریباً همیشه میتوان یک سامانه فیزیکی پیدا کرد که آینه آن ریاضیات باشد. انگیزه رامانوجان شاید کاملاً ریاضی بود، اما بیآنکه بداند، در حال مطالعه سیاهچالهها، آشفتگی و نفوذپذیری هم بوده است.»
بینشی یک قرنی با تأثیر امروزی
ین یافتهها نشان میدهد که فرمولهای رامانوجان که بیش از ۱۰۰ سال پیش توسعه یافتهاند، مزیتی پنهان برای سادهتر و سریعتر کردن محاسبات فیزیک انرژیهای بالا در اختیار میگذارند. افزون بر ارزش کاربردی، پژوهشگران میگویند این کار گستره خارقالعاده اندیشههای رامانوجان را برجسته میکند.
سینها در پایان میگوید: «ما مجذوب این حقیقت شدیم که نابغهای در اوایل قرن بیستم در هند، با تقریباً هیچ تماس مستقیمی با فیزیک مدرن، ساختارهایی را پیشبینی کرده که امروز در مرکز فهم ما از جهان قرار دارند.»
